КостинБлог

...

По запросу ничего не найдено.

Элементы теории погрешности

Содержание:

  1. Абсолютная и относительная погрешности
  2. Значащая цифра. Число верных знаков
  3. Округление чисел
  4. Погрешности суммы, разности, произведения и частного
  5. Общие формулы для абсолютной погрешности

Причинами погрешности являются:

  1. Математическое описание задачи является неточным - неточно заданы исходные данные;
  2. Почти все методы являются неточными. Получение точного решения требует неограниченного или большого числа арифметических действий;
  3. При вводе (выводе) данных в ЭВМ, при выполнении расчётов производится округление.

Погрешности соответствующие этим причинам называют:

  1. неустранимые погрешности;
  2. погрешностью метода;
  3. вычислительной погрешностью.

Пример. Путь пройденный телом при равноускоренном движении с ускорением \( a \) и с начальной скоростью \( v_{0} \) за время \( t \) \begin{equation} \label{eq:fourierrow} S = v_{0}t + { at^2 \over 2 }. \end{equation}

Неустранимая погрешность:

  1. в самой модели (не учитываются сопротивление среды, размеры тела);
  2. \( v_{0}, a \) — приближённые данные (погрешность прибора).
  • \( T \) — точное движение;
  • \( P \) — решение по формуле \( (1) \):
  • \( P_{1} \) — решения, полученные при реализации методов в предположении отсутствуя округления;
  • \( P_{2} \) — реальное решение;
  • \( \triangle \) — полная погрешность;
  • \( \triangle_{1} = |T-P| \) — неустранимая погрешность;
  • \( \triangle_{2} = |P-P_{1}| \) — погрешность метода;
  • \( \triangle_{3} = |P_{1}-P_{2}| \) — вычислительная погрешность;
  • \( \triangle = |T-P_{2}|-|T-P+P-P_{1}+P_{1}-P_{2}| = \triangle_{1} + \triangle_{2} + \triangle_{3}. \)

1. Абсолютная и относительная погрешности

Определение 1. Приближённым числом \( \tilde{a} \) называют число незначительно отклоняющейся от точного числа \( a \) и заменяющее последнее в вычислениях.

Определение 2. Абсолютная погрешность \( \triangle \) приближенного числа \( \tilde{a} \) называется величина \( \triangle = |a - \tilde{a}|. \)

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью \( \triangle\tilde{a} \) называют всякое число не меньшее \( \triangle, \) т.е. \( \triangle \tilde{a} \geq \triangle. \)

$$ a \approx \tilde{a} \pm \triangle \tilde{a}. $$

Пример. \( l_{1} = 1000 \pm 0,1 \), \( l_{2} = 10 \pm 0,1 \).

Определение 4. Относительной погрешностью \( δ \) приближенного числа \( \tilde{a} \) называется величина $$ δ = { \tilde{a} \over { |a| } }, (a \ne 0) .$$

Определение 5. Предельной относительной погрешностью \( δ_{ \tilde{a} } \) называется всякое число не меньшее \( δ \), т.е. $$ δ_{ \tilde{a} } \geq δ. $$

$$ \triangle \tilde{a} \approx δ_{ \tilde{a} } |\tilde{a}|. $$

2. Значащая цифра. Число верных знаков

\( a = \underbrace{ a_{m} \cdot 10^m + a_{m-1} \cdot 10^{m-1}+...+a_{m-a+1} \cdot 10^{m-n+1} }_{n} \) — десятичная форма записи.

  1. \( n \) — количество коэффициентов;
  2. \( m \) — первая положительная степень.

Пример. \( 375,63 = 3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10^{1} + 5 \cdot 10^{0} + 6 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2}, \quad m = 2, \quad n = 5, \quad m-n+1=-2. \)

Определение 6. Значащими цифрами приближённого числа называются все цифры в его десятичном представлении начиная с первой (ненулевой) слева.

Определение 7. \( n \) первых значащих цифр приближённого числа являются верными в узком (широком) смысле.

Если абсолютная погрешность \( \triangle \) этого числа не превышает половины единицы (единицы) разряда выражаемого \( n \)—ой значащей цифрой считая слева направо, т.е. если $$ \triangle \tilde{a} = |a-\tilde{a}| \leq { 1 \over 2} \cdot 10^{m-n+1}, $$ то \( n \) цифр — \( a_{m}, \quad a_{m-1}, \quad ..., \quad a_{m-n+1} \) являются верными в узком смысле, а если $$ \triangle = |a-\tilde{a}| \leq 1 \cdot 10^{m-n+1}, $$ то \( n \) цифр — \( a_{m}, \quad a_{m-1}, \quad ..., \quad a_{m-n+1} \) считаются верными в широком смысле.

Пример. \( a = 386,787 \) — число, \( \tilde{a} = 386,780 \) — приближённое число, \( \triangle \) = 0,007 — погрешность.

  1. в узком смысле: \( 0,007 \leq { 1 \over 2} \cdot 10^{-1}, \quad {1 \over 2} \cdot 10^{-2} < 0,007 < {1 \over 2} \cdot 10^{-1} \quad (0,005<0,007<0,05). \)
    \( m-n+1=-1, \)
    \( 2-n+1=-1, \)
    \( n = 4; \)
  2. в широком смысле: \( 0,007 \leq 1 \cdot 10^{-2}, \quad 10^{-3} < 0,007 < 1 \cdot 10^{-2} \quad (0,001<0,007<0,01). \)
    \( 2-n+1=-2,\)
    \( n = 5. \)

3. Округление чисел

Определение 8. Под округлением понимается замена точного или приближённого числа \( a, \) числом \( a_{1} \) с меньшим количеством значащих цифр. При этом \( a_{1} \) выбирают так, чтобы погрешность округления была наименьшей.

Правило округления

Чтобы округлить число до \( n \) значащей цифры, отбрасывают все стоящие справа от \( n \) значащей цифры. Если это необходимо для сохранения разряда, то заменяют их нулями, при этом, если первая из отброшенных цифр:

  1. \( < 5 \), то оставляем без изменений;
  2. \( > 5 \), то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;
  3. \( = 5 \) и среди остальных отброшенных есть ненулевые, то к последней оставшейся прибавляется единица;
  4. \( = 5 \), а остальные отброшенные равны нулю, то последняя оставшаяся цифра, если она чётная, сохраняется неизменной, иначе увеличивается на единицу.

Пример. Округлить до \( n = 4 \) верных знаков

  1. \( 736,85 \rightarrow 736,8 \);
  2. \( 736,95 \rightarrow 737,0 \);
  3. \( 736,86 \rightarrow 736,9 \);
  4. \( 736,84 \rightarrow 736,8 \);
  5. \( 403,6 (n = 2) \rightarrow 400 \);
  6. \( 405,5 (n = 2) \rightarrow 410 \).

Пример. Записать с верными знаками: a — в узком смысле, b — в широком смысле

  1. \( 8455,9875 \pm 0,009 \), \( a = 8455,9875, \quad \triangle_{a} = 0,009 \), первая положительная степень \( m = 3 \)
    1. \( 0,009 \leq {1 \over 2} \cdot 10^{-1} \),
      \( m-n_{1}+1=-1 \),
      \( 3-n_{1}+1=-1\),
      \( n_{1} = 5 \),
      \( a_{1}=\underbrace{8456,0}_{5} \), \( \triangle_{округления\quad a_{1}} = |a-a_{1}|=|8455,9875-8456,0|=0,0125 \), \( \triangle_{a_{1}} = 0,009 + 0,0125 = 0,0215 \).
      \( 0,0215 \leq {1 \over 2} \cdot 10^{-1} \), \( n_{2} = 5, \quad n_{1} = n_{2}. \) Ответ: \( 8456,0\pm0,0215. \)
    2. \( 0,009 \leq 1 \cdot 10^{-2} \),
      \( m-n_{1}+1=-2 \),
      \( 3-n_{1}+1=-2 \),
      \( n_{1} = 6 \),
      округлив \( a \) до \( n_{1} = 6 \) значащих цифр, получим \( a_{1} = 8455,99 \), \( \triangle_{округления\quad a_{1}} = |a-a_{1}|=|8455,9875-8455,99|=0,0025 \), \( \triangle_{a_{1}} = 0,009 + 0,0025 = 0,0115 \).
      Оценим данную погрешность \( \triangle_{a_{1}} \): \( 0,0115 \leq 10^{-1} \),
      \( m-n_{2}+1=-1 \),
      \( 3-n_{2}+1=-1 \),
      \( n_{2} = 5 \).
      \( n_{1} \ne n_{2} \), \( a_{2} = 8456,0 \), \( \triangle_{округления\quad a_{2}} = |a_{1}-a_{2}|=|8455,99-8456,0|=0,01 \), \( \triangle_{a_{2}} = 0,0115 + 0,01 = 0,0215 \).
      \( 0,0215 \leq 10^{-1}\), \( n_{3} = 5 \), \( n_{2} = n_{3} \). Ответ: \( 8456,0 \pm 0,0215. \)

4. Погрешности суммы, разности, произведения и частного

  1. $$ S = x + y, d = x - y, $$ $$ \triangle S = \triangle d = \triangle x + \triangle y, $$ $$ δ_{S} = {{\triangle S} \over {|x+y|}} = {{{\triangle x} \over {|x+y|}} {{|x|} \over {|x|}}} + {{\triangle y} \over {|x+y|}} {{|y|} \over {|y|}} = {{δ_x |x|} \over { |x+y| }} + {{δ_y |y|} \over { |x+y| }}, $$ $$ δ_{d} = { {δ_{x}|x|} \over {|x-y|} } + { {δ_{y}|y|} \over {x-y} }. $$
  2. $$ p=x \cdot y, q = {x \over y}, x,y > 0, $$ $$ \ln{p} = \ln{x} + \ln{y}, $$ $$ \ln{q} = \ln{x} - \ln{y}, $$ $$ \triangle\ln{p} = \triangle\ln{x} + \triangle\ln{y} = \triangle\ln{q}, $$ $$ \triangle\ln{p} \approx d \ln{p} = {{\triangle p} \over p}, $$ $$ {{\triangle p}\over p}={{\triangle q}\over q}={{\triangle x}\over x}+{{\triangle y}\over y}, $$ $$ δ_{p} = δ_{q} = δ_{x} + δ_{y}, $$ $$ \triangle p = \triangle x \cdot y + \triangle y \cdot x, $$ $$ \triangle q = { {\triangle x \cdot y + \triangle y \cdot x} \over {y^2} }.$$

5. Общие формулы для абсолютной погрешности

Пусть задана дифференциальная функция \( f(x_1,x_2,...,x_n) \) и \( \triangle{x_{i}} \quad (i=1,2,...,n)\). Тогда (т.к. \( \triangle{x_{i}} \rightarrow 0 \)) $$ |\triangle{f}| \approx |df(x_1,x_2,...,x_n)| \leq \sum_{i=1}^n {\Bigl|{ {\partial f} \over {\partial x_i} }\Bigr|} \cdot |\triangle{x_i}|, $$ $$ \triangle_f = \sum_{i=1}^n {\Bigl|{ {\partial f} \over {\partial x_i} }\Bigr|} \cdot |\triangle{x_i}|. $$

Пример. \( \triangle{(x^3)} = {3x^2}\triangle{x} \).
\( \triangle{(x^2+y^2)} = {2x}\triangle{x} + {2y}\triangle{y} \).
\( \triangle{(x^2)} = {2x}\triangle{x} \).
\( \triangle{(x \cdot x)} = \triangle{x} \cdot x + \triangle{x} \cdot x = {2x}\triangle{x} \).
  1. Для величин \( x=1, \quad y=2 \) известна абсолютная погрешность \( \triangle{x} = 0,001, \quad \triangle{y} = 0,005 \). Найти \( \triangle(x \cdot y) \).

    \( \triangle{(x \cdot y)} = \triangle{x} \cdot y + \triangle{y} \cdot x = 0,001 \ cdot 2 + 0,005 \cdot 1 = 0,007 \),
    \( \triangle{(x-y)} = 0,001 + 0,005 = 0,006 \).

  2. Для величин \( x=1, \quad y=2 \) известна относительная погрешность \( δ_x = 0,005 \), \( δ_y = 0,003 \). Найти \( δ{(x \cdot y)}, \quad δ{(x+y)}, \quad δ{(x-y)}, \quad δ{( { {x} \over {y} } )} \).

    \( δ(x \cdot y) = δ({x \over y}) = δ_x + δ_y = 0,008 \),
    \( δ(x-y) = { {{δ_x}|x|}\over{|x-y|} } + { {{δ_y}|y|}\over{|x-y|} } = {{0,005 \cdot 1}\over{1}} + {{0,003 \cdot 2}\over{1}} = 0,005+0,006=0,011 \).

Предыдущая заметка Следующая заметка
История развития прикладной математики

Заметка не найдена